Lineare Gleichungen mit Äquivalenzumformungen lösen – Übungen

Rechnung:
$$ \begin{array}{rcll} x + 4 &=& 10 &\vert -4 \\ \\ x + 4 - 4 &=& 10 - 4 & \\ \\ x &=& \color{#55CE54}{6} & \end{array} $$

Probe: $$ \begin{array}{rcll} 6 + 4 &=& 10 \\ \\ 10 &=& 10 & \color{#55CE54}{\checkmark} \end{array} $$

Rechnung:
$$ \begin{array}{rcll} x - 3 &=& 9 &\vert +3 \\ \\ x - 3 + 3 &=& 9 + 3 & \\ \\ x &=& \color{#55CE54}{12} & \end{array} $$

Probe: $$ \begin{array}{rcll} 12 - 3 &=& 9 \\ \\ 9 &=& 9 & \color{#55CE54}{\checkmark} \end{array} $$

Rechnung:
$$ \begin{array}{rcll} 3x &=& 15 &\vert :3 \\ \\ \dfrac{3x}{3} &=& \dfrac{15}{3} & \\ \\ x &=& \color{#55CE54}{5} & \end{array} $$

Probe: $$ \begin{array}{rcll} 3 \cdot 5 &=& 15 \\ \\ 15 &=& 15 & \color{#55CE54}{\checkmark} \end{array} $$

Rechnung:
$$ \begin{array}{rcll} \dfrac{x}{2} &=& 6 &\vert \cdot 2 \\ \\ \dfrac{x}{2} \cdot 2 &=& 6 \cdot 2 & \\ \\ x &=& \color{#55CE54}{12} & \end{array} $$

Probe: $$ \begin{array}{rcll} \dfrac{12}{2} &=& 6 \\ \\ 6 &=& 6 & \color{#55CE54}{\checkmark} \end{array} $$

Rechnung:
$$ \begin{array}{rcll} 2x + 3 &=& 11 &\vert -3 \\ \\ 2x + 3 - 3 &=& 11 - 3 & \\ \\ 2x &=& 8 &\vert :2 \\ \\ \dfrac{2x}{2} &=& \dfrac{8}{2} & \\ \\ x &=& \color{#55CE54}{4} & \end{array} $$

Probe: $$ \begin{array}{rcll} 2 \cdot 4 + 3 &=& 11 \\ \\ 8 + 3 &=& 11 \\ \\ 11 &=& 11 & \color{#55CE54}{\checkmark} \end{array} $$

Rechnung:
$$ \begin{array}{rcll} \dfrac{x}{3} + 2 &=& 6 &\vert -2 \\ \\ \dfrac{x}{3} + 2 - 2 &=& 6 - 2 & \\ \\ \dfrac{x}{3} &=& 4 &\vert \cdot 3 \\ \\ \dfrac{x}{3} \cdot 3 &=& 4 \cdot 3 & \\ \\ x &=& \color{#55CE54}{12} & \end{array} $$

Probe: $$ \begin{array}{rcll} \dfrac{12}{3} + 2 &=& 6 \\ \\ 4 + 2 &=& 6 \\ \\ 6 &=& 6 & \color{#55CE54}{\checkmark} \end{array} $$

Rechnung:
$$ \begin{array}{rcll} 4x - 5 &=& 27 &\vert +5 \\ \\ 4x - 5 + 5 &=& 27 + 5 & \\ \\ 4x &=& 32 &\vert :4 \\ \\ \dfrac{4x}{4} &=& \dfrac{32}{4} & \\ \\ x &=& \color{#55CE54}{8} & \end{array} $$

Probe: $$ \begin{array}{rcll} 4 \cdot 8 - 5 &=& 27 \\ \\ 32 - 5 &=& 27 \\ \\ 27 &=& 27 & \color{#55CE54}{\checkmark} \end{array} $$

Rechnung:
$$ \begin{array}{rcll} 5x + 10 &=& 35 &\vert -10 \\ \\ 5x + 10 - 10 &=& 35 - 10 & \\ \\ 5x &=& 25 &\vert :5 \\ \\ \dfrac{5x}{5} &=& \dfrac{25}{5} & \\ \\ x &=& \color{#55CE54}{5} & \end{array} $$

Probe: $$ \begin{array}{rcll} 5 \cdot 5 + 10 &=& 35 \\ \\ 25 + 10 &=& 35 \\ \\ 35 &=& 35 & \color{#55CE54}{\checkmark} \end{array} $$

Rechnung:
$$ \begin{array}{rcll} \dfrac{x + 6}{2} &=& 10 &\vert \cdot 2 \\ \\ \dfrac{x + 6}{2} \cdot 2 &=& 10 \cdot 2 & \\ \\ x + 6 &=& 20 &\vert -6 \\ \\ x + 6 - 6 &=& 20 - 6 & \\ \\ x &=& \color{#55CE54}{14} & \end{array} $$

Probe: $$ \begin{array}{rcll} \dfrac{14 + 6}{2} &=& 10 \\ \\ \dfrac{20}{2} &=& 10 \\ \\ 10 &=& 10 & \color{#55CE54}{\checkmark} \end{array} $$

Rechnung:
$$ \begin{array}{rcll} \dfrac{3x - 3}{3} &=& 5 &\vert \cdot 3 \\ \\ \dfrac{3x - 3}{3} \cdot 3 &=& 5 \cdot 3 & \\ \\ 3x - 3 &=& 15 &\vert +3 \\ \\ 3x - 3 + 3 &=& 15 + 3 & \\ \\ 3x &=& 18 &\vert :3 \\ \\ \dfrac{3x}{3} &=& \dfrac{18}{3} & \\ \\ x &=& \color{#55CE54}{6} & \end{array} $$

Probe: $$ \begin{array}{rcll} \dfrac{3 \cdot 6 - 3}{3} &=& 5 \\ \\ \dfrac{18 - 3}{3} &=& 5 \\ \\ \dfrac{15}{3} &=& 5 \\ \\ 5 &=& 5 & \color{#55CE54}{\checkmark} \end{array} $$

Rechnung:
$$ \begin{array}{rcll} 2x + 4 &=& x + 10 &\vert -x \\ \\ 2x - x + 4 &=& x - x + 10 & \\ \\ x + 4 &=& 10 &\vert -4 \\ \\ x + 4 - 4 &=& 10 - 4 & \\ \\ x &=& \color{#55CE54}{6} & \end{array} $$

Probe: $$ \begin{array}{rcll} 2 \cdot 6 + 4 &=& 6 + 10 \\ \\ 12 + 4 &=& 16 \\ \\ 16 &=& 16 & \color{#55CE54}{\checkmark} \end{array} $$

Rechnung:
$$ \begin{array}{rcll} 3x - 5 &=& 2x + 4 &\vert -2x \\ \\ 3x - 2x - 5 &=& 2x - 2x + 4 & \\ \\ x - 5 &=& 4 &\vert +5 \\ \\ x - 5 + 5 &=& 4 + 5 & \\ \\ x &=& \color{#55CE54}{9} & \end{array} $$

Probe: $$ \begin{array}{rcll} 3 \cdot 9 - 5 &=& 2 \cdot 9 + 4 \\ \\ 27 - 5 &=& 18 + 4 \\ \\ 22 &=& 22 & \color{#55CE54}{\checkmark} \end{array} $$

Rechnung:
$$ \begin{array}{rcll} 5x + 2 &=& 3x + 10 &\vert -3x \\ \\ 5x - 3x + 2 &=& 3x - 3x + 10 & \\ \\ 2x + 2 &=& 10 &\vert -2 \\ \\ 2x + 2 - 2 &=& 10 - 2 & \\ \\ 2x &=& 8 &\vert :2 \\ \\ \dfrac{2x}{2} &=& \dfrac{8}{2} & \\ \\ x &=& \color{#55CE54}{4} & \end{array} $$

Probe: $$ \begin{array}{rcll} 5 \cdot 4 + 2 &=& 3 \cdot 4 + 10 \\ \\ 20 + 2 &=& 12 + 10 \\ \\ 22 &=& 22 & \color{#55CE54}{\checkmark} \end{array} $$

Rechnung:
$$ \begin{array}{rcll} 6x - 7 &=& 4x + 3 &\vert -4x \\ \\ 6x - 4x - 7 &=& 4x - 4x + 3 & \\ \\ 2x - 7 &=& 3 &\vert +7 \\ \\ 2x - 7 + 7 &=& 3 + 7 & \\ \\ 2x &=& 10 &\vert :2 \\ \\ \dfrac{2x}{2} &=& \dfrac{10}{2} & \\ \\ x &=& \color{#55CE54}{5} & \end{array} $$

Probe: $$ \begin{array}{rcll} 6 \cdot 5 - 7 &=& 4 \cdot 5 + 3 \\ \\ 30 - 7 &=& 20 + 3 \\ \\ 23 &=& 23 & \color{#55CE54}{\checkmark} \end{array} $$

Rechnung:
$$ \begin{array}{rcll} 7x + 8 &=& 2x + 23 &\vert -2x \\ \\ 7x - 2x + 8 &=& 2x - 2x + 23 & \\ \\ 5x + 8 &=& 23 &\vert -8 \\ \\ 5x + 8 - 8 &=& 23 - 8 & \\ \\ 5x &=& 15 &\vert :5 \\ \\ \dfrac{5x}{5} &=& \dfrac{15}{5} & \\ \\ x &=& \color{#55CE54}{3} & \end{array} $$

Probe: $$ \begin{array}{rcll} 7 \cdot 3 + 8 &=& 2 \cdot 3 + 23 \\ \\ 21 + 8 &=& 6 + 23 \\ \\ 29 &=& 29 & \color{#55CE54}{\checkmark} \end{array} $$

Rechnung:
$$ \begin{array}{rcll} 10x - 4 &=& 6x + 12 &\vert -6x \\ \\ 10x - 6x - 4 &=& 6x - 6x + 12 & \\ \\ 4x - 4 &=& 12 &\vert +4 \\ \\ 4x - 4 + 4 &=& 12 + 4 & \\ \\ 4x &=& 16 &\vert :4 \\ \\ \dfrac{4x}{4} &=& \dfrac{16}{4} & \\ \\ x &=& \color{#55CE54}{4} & \end{array} $$

Probe: $$ \begin{array}{rcll} 10 \cdot 4 - 4 &=& 6 \cdot 4 + 12 \\ \\ 40 - 4 &=& 24 + 12 \\ \\ 36 &=& 36 & \color{#55CE54}{\checkmark} \end{array} $$

Rechnung:
$$ \begin{array}{rcll} 8x + 1 &=& 5x + 10 &\vert -5x \\ \\ 8x - 5x + 1 &=& 5x - 5x + 10 & \\ \\ 3x + 1 &=& 10 &\vert -1 \\ \\ 3x + 1 - 1 &=& 10 - 1 & \\ \\ 3x &=& 9 &\vert :3 \\ \\ \dfrac{3x}{3} &=& \dfrac{9}{3} & \\ \\ x &=& \color{#55CE54}{3} & \end{array} $$

Probe: $$ \begin{array}{rcll} 8 \cdot 3 + 1 &=& 5 \cdot 3 + 10 \\ \\ 24 + 1 &=& 15 + 10 \\ \\ 25 &=& 25 & \color{#55CE54}{\checkmark} \end{array} $$

Rechnung:
$$ \begin{array}{rcll} 9x + 6 &=& 4x + 21 &\vert -4x \\ \\ 9x - 4x + 6 &=& 4x - 4x + 21 & \\ \\ 5x + 6 &=& 21 &\vert -6 \\ \\ 5x + 6 - 6 &=& 21 - 6 & \\ \\ 5x &=& 15 &\vert :5 \\ \\ \dfrac{5x}{5} &=& \dfrac{15}{5} & \\ \\ x &=& \color{#55CE54}{3} & \end{array} $$

Probe: $$ \begin{array}{rcll} 9 \cdot 3 + 6 &=& 4 \cdot 3 + 21 \\ \\ 27 + 6 &=& 12 + 21 \\ \\ 33 &=& 33 & \color{#55CE54}{\checkmark} \end{array} $$

Rechnung:
$$ \begin{array}{rcll} 12x - 10 &=& 6x + 20 &\vert -6x \\ \\ 12x - 6x - 10 &=& 6x - 6x + 20 & \\ \\ 6x - 10 &=& 20 &\vert +10 \\ \\ 6x - 10 + 10 &=& 20 + 10 & \\ \\ 6x &=& 30 &\vert :6 \\ \\ \dfrac{6x}{6} &=& \dfrac{30}{6} & \\ \\ x &=& \color{#55CE54}{5} & \end{array} $$

Probe: $$ \begin{array}{rcll} 12 \cdot 5 - 10 &=& 6 \cdot 5 + 20 \\ \\ 60 - 10 &=& 30 + 20 \\ \\ 50 &=& 50 & \color{#55CE54}{\checkmark} \end{array} $$

Rechnung:
$$ \begin{array}{rcll} 15x + 5 &=& 10x + 30 &\vert -10x \\ \\ 15x - 10x + 5 &=& 10x - 10x + 30 & \\ \\ 5x + 5 &=& 30 &\vert -5 \\ \\ 5x + 5 - 5 &=& 30 - 5 & \\ \\ 5x &=& 25 &\vert :5 \\ \\ \dfrac{5x}{5} &=& \dfrac{25}{5} & \\ \\ x &=& \color{#55CE54}{5} & \end{array} $$

Probe: $$ \begin{array}{rcll} 15 \cdot 5 + 5 &=& 10 \cdot 5 + 30 \\ \\ 75 + 5 &=& 50 + 30 \\ \\ 80 &=& 80 & \color{#55CE54}{\checkmark} \end{array} $$

Gleichung:
Wir bezeichnen die gesuchte Zahl mit $x$. Wenn man diese Zahl mit $3$ multipliziert, ergibt sich $3x$. Anschließend wird die Zahl um $5$ vergrößert, also rechnen wir $3x + 5$. Insgesamt soll das $20$ ergeben. Daraus ergibt sich die Gleichung:

$$ 3x + 5 = 20 $$

Rechnung:
$$ \begin{array}{rcll} 3x + 5 &=& 20 &\vert -5 \\ \\ 3x + 5 - 5 &=& 20 - 5 & \\ \\ 3x &=& 15 &\vert :3 \\ \\ \dfrac{3x}{3} &=& \dfrac{15}{3} & \\ \\ x &=& \color{#55CE54}{5} & \end{array} $$

Probe:
$$ \begin{array}{rcll} 3 \cdot 5 + 5 &=& 20 \\ \\ 15 + 5 &=& 20 \\ \\ 20 &=& 20 & \color{#55CE54}{\checkmark} \end{array} $$

Gleichung:
Wir nennen die unbekannte Zahl $x$. Wird diese halbiert, erhalten wir $\dfrac{x}{2}$. Wenn man zu diesem Ergebnis $6$ addiert, lautet der Ausdruck $\dfrac{x}{2} + 6$. Das Ergebnis soll $14$ sein. Daraus folgt die Gleichung:

$$ \dfrac{x}{2} + 6 = 14 $$

Rechnung:
$$ \begin{array}{rcll} \dfrac{x}{2} + 6 &=& 14 &\vert -6 \\ \\ \dfrac{x}{2} + 6 - 6 &=& 14 - 6 & \\ \\ \dfrac{x}{2} &=& 8 &\vert \cdot 2 \\ \\ \dfrac{x}{2} \cdot 2 &=& 8 \cdot 2 & \\ \\ x &=& \color{#55CE54}{16} & \end{array} $$

Probe:
$$ \begin{array}{rcll} \dfrac{16}{2} + 6 &=& 14 \\ \\ 8 + 6 &=& 14 \\ \\ 14 &=& 14 & \color{#55CE54}{\checkmark} \end{array} $$

Gleichung:
Wir bezeichnen die unbekannte Zahl mit $x$. Wenn man diese Zahl mit $4$ multipliziert, ergibt sich $4x$. Zieht man davon $8$ ab, lautet der Ausdruck $4x - 8$. Das Ergebnis soll laut Aufgabe $20$ sein. Die passende Gleichung ist also:

$$ 4x - 8 = 20 $$

Rechnung:
$$ \begin{array}{rcll} 4x - 8 &=& 20 &\vert +8 \\ \\ 4x - 8 + 8 &=& 20 + 8 & \\ \\ 4x &=& 28 &\vert :4 \\ \\ \dfrac{4x}{4} &=& \dfrac{28}{4} & \\ \\ x &=& \color{#55CE54}{7} & \end{array} $$

Probe:
$$ \begin{array}{rcll} 4 \cdot 7 - 8 &=& 20 \\ \\ 28 - 8 &=& 20 \\ \\ 20 &=& 20 & \color{#55CE54}{\checkmark} \end{array} $$

Gleichung:
Die gesuchte Zahl nennen wir $x$. Wenn man sie verdoppelt, ergibt sich $2x$. Anschließend wird $3$ subtrahiert: $2x - 3$. Daraus ergibt sich das Ergebnis $17$. Die Gleichung dazu lautet:

$$ 2x - 3 = 17 $$

Rechnung:
$$ \begin{array}{rcll} 2x - 3 &=& 17 &\vert +3 \\ \\ 2x - 3 + 3 &=& 17 + 3 & \\ \\ 2x &=& 20 &\vert :2 \\ \\ \dfrac{2x}{2} &=& \dfrac{20}{2} & \\ \\ x &=& \color{#55CE54}{10} & \end{array} $$

Probe:
$$ \begin{array}{rcll} 2 \cdot 10 - 3 &=& 17 \\ \\ 20 - 3 &=& 17 \\ \\ 17 &=& 17 & \color{#55CE54}{\checkmark} \end{array} $$

Gleichung:
Wir nennen die gesuchte Zahl $x$. Wenn sie mit $5$ multipliziert wird, ergibt sich $5x$. Dann wird $10$ subtrahiert: $5x - 10$. Das ergibt dann $25$. Die Gleichung ist somit:

$$ 5x - 10 = 25 $$

Rechnung:
$$ \begin{array}{rcll} 5x - 10 &=& 25 &\vert +10 \\ \\ 5x - 10 + 10 &=& 25 + 10 & \\ \\ 5x &=& 35 &\vert :5 \\ \\ \dfrac{5x}{5} &=& \dfrac{35}{5} & \\ \\ x &=& \color{#55CE54}{7} & \end{array} $$

Probe:
$$ \begin{array}{rcll} 5 \cdot 7 - 10 &=& 25 \\ \\ 35 - 10 &=& 25 \\ \\ 25 &=& 25 & \color{#55CE54}{\checkmark} \end{array} $$